Cho f(z) là một đa thức phức. Chu trình này theo như sau:

1. Tính toán các đa thức P 0 ( y ) {\displaystyle P_{0}(y)} và P 1 ( y ) {\displaystyle P_{1}(y)} như f ( i y ) = P 0 ( y ) + i P 1 ( y ) {\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)} trong đó y là một số thực.
2. Tính toán ma trận Sylvester liên quan đến P 0 ( y ) {\displaystyle P_{0}(y)} và P 1 ( y ) {\displaystyle P_{1}(y)} .
3. Sắp xếp lại mỗi hàng theo cách tương tự trong đó một hàng lẽ và hàng theo sau có cùng zero ở đầu.
4. Tính toán mỗi định thức con chính của ma trận đó.
5. Nếu ít nhất một trong số các định thức con đó là âm (hoặc zero), thì đa thức f là không ổn định.

Ví dụ

• Cho f ( z ) = a z 2 + b z + c {\displaystyle f(z)=az^{2}+bz+c} (để đơn giản chúng ta chỉ lấy các hệ số phần thực) trong đó c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} (để tránh một nghiệm trong zero do đó ta có thể sử dụng định lý Routh–Hurwitz). Đầu tiên, ta phải tính các đa thức thực P 0 ( y ) {\displaystyle P_{0}(y)} và P 1 ( y ) {\displaystyle P_{1}(y)} :

f ( i y ) = − a y 2 + i b y + c = P 0 ( y ) + i P 1 ( y ) = − a y 2 + c + i ( b y ) . {\displaystyle f(iy)=-ay^{2}+iby+c=P_{0}(y)+iP_{1}(y)=-ay^{2}+c+i(by).} Tiếp theo, chúng ta phân chia các đa thức để có được chuỗi Sturm tổng quát:

• P 0 ( y ) = ( ( − a / b ) y ) P 1 ( y ) + c , {\displaystyle P_{0}(y)=((-a/b)y)P_{1}(y)+c,} thu được P 2 ( y ) = − c , {\displaystyle P_{2}(y)=-c,}
• P 1 ( y ) = ( ( − b / c ) y ) P 2 ( y ) , {\displaystyle P_{1}(y)=((-b/c)y)P_{2}(y),} thu được P 3 ( y ) = 0 {\displaystyle P_{3}(y)=0} và kết thúc bằng Giải thuật Euclid.

Chú ý rằng chúng ta phải giả sử b khác zero trong phép chia đầu tiên. Chuỗi Sturm tổng quát trong trường hợp này là ( P 0 ( y ) , P 1 ( y ) , P 2 ( y ) ) = ( c − a y 2 , b y , − c ) {\displaystyle (P_{0}(y),P_{1}(y),P_{2}(y))=(c-ay^{2},by,-c)} . Đặt y = + ∞ {\displaystyle y=+\infty } , dấu của c − a y 2 {\displaystyle c-ay^{2}} ngược với dấu của a và dấu của by là dấu của b. Khi ta đặt y = − ∞ {\displaystyle y=-\infty } , dấu của thành phần đầu tiên của chuỗi này lại trái dấu với a và dấu của by là trái dấu của b. Cuối cùng, -c luôn có dấu trái với c.

Giả sử rằng bây giờ f là ổn định Hurwitz. Nghĩa là w ( + ∞ ) − w ( − ∞ ) = 2 {\displaystyle w(+\infty )-w(-\infty )=2} (bậc của f). Bởi các thuộc tính của hàm w, điều này giống với w ( + ∞ ) = 2 {\displaystyle w(+\infty )=2} và w ( − ∞ ) = 0 {\displaystyle w(-\infty )=0} . Do đó, a, b và c phải cùng dấu. Do đó ta phải tìm điều kiện cần của ổn định cho các đa thức bậc 2.

Tiêu chuẩn Routh–Hurwitz cho các đa thức bậc hai, ba và bốn

Dưới đây, chúng ta giả sử rằng hệ số của bậc cao nhất (ví dụ. a 2 {\displaystyle a_{2}} trong một đa thức bậc hai) là dương. Nếu cần thiết,luôn luôn có thể đạt được điều này bằng cách nhân đa thức này với − 1 {\displaystyle -1} .

• Đối với một đa thức bậ hai, P ( s ) = a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = 0 {\displaystyle P(s)=a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0} , tất cả các nghiệm là nằm trong mặt phẳng bên trái (và hệ thống này với phương trình đặc tính P ( s ) {\displaystyle P(s)} là ổn định) nếu tất cả các hệ số thỏa mãn a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} .
• Đối với một đa thức bậc ba P ( s ) = a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = 0 {\displaystyle P(s)=a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0} , tất cả các hệ số phải thỏa mãn  a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} , và a 2 a 1 > a 3 a 0 {\displaystyle a_{2}a_{1}>a_{3}a_{0}}
• Đối với một đa thức bậc bốn P ( s ) = a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = 0 {\displaystyle P(s)=a_{4}s^{4}+a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0} , tất cả các hệ số phải thỏa mãn a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} , và a 3 a 2 > a 4 a 1 {\displaystyle a_{3}a_{2}>a_{4}a_{1}} và a 3 a 2 a 1 > a 4 a 1 2 + a 3 2 a 0 {\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}>a_{4}a_{1}^{2}+a_{3}^{2}a_{0}} Nói chung tiêu chuẩn ổn định Routh phát biểu rằng tất cả các thành phần Cột đầu tiên của mảng Routh là cùng dấu.

Các hệ thống đáp ứng tiêu chí nêu trên được gọi là vòng lặp kín ổn định, nếu không chúng là không ổn định vì đổi dấu trong các thành phần cột đầu tiên.

Ví dụ về bậc cao

Có thể sử dụng phương pháp bảng để xác định sự ổn định khi các nghiệm của một đa thức đặc tính bậc cao khó đạt được. Đối với đa thức bậc thứ n

• D ( s ) = a n s n + a n − 1 s n − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 {\displaystyle D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}

bảng này có n + 1 hàng và có dạng sau:

a n {\displaystyle a_{n}}	a n − 2 {\displaystyle a_{n-2}}	a n − 4 {\displaystyle a_{n-4}}	… {\displaystyle \dots }
a n − 1 {\displaystyle a_{n-1}}	a n − 3 {\displaystyle a_{n-3}}	a n − 5 {\displaystyle a_{n-5}}	… {\displaystyle \dots }
b 1 {\displaystyle b_{1}}	b 2 {\displaystyle b_{2}}	b 3 {\displaystyle b_{3}}	… {\displaystyle \dots }
c 1 {\displaystyle c_{1}}	c 2 {\displaystyle c_{2}}	c 3 {\displaystyle c_{3}}	… {\displaystyle \dots }
⋮ {\displaystyle \vdots }	⋮ {\displaystyle \vdots }	⋮ {\displaystyle \vdots }	⋱ {\displaystyle \ddots }

trong đó các thành phần b i {\displaystyle b_{i}} và c i {\displaystyle c_{i}} có thể được tính toán như sau:

• b i = a n − 1 × a n − 2 i − a n × a n − 2 i − 1 a n − 1 . {\displaystyle b_{i}={\frac {a_{n-1}\times {a_{n-2i}}-a_{n}\times {a_{n-2i-1}}}{a_{n-1}}}.}
• c i = b 1 × a n − 2 i − 1 − a n − 1 × b i + 1 b 1 . {\displaystyle c_{i}={\frac {b_{1}\times {a_{n-2i-1}}-a_{n-1}\times {b_{i+1}}}{b_{1}}}.}

Khi hoàn thành, số dấu thay đổi trong cột đầu tiên sẽ là số các cực không-âm.

0.75	1.5	0	0
-3	6	0	0
3	0	0	0
6	0	0	0

Trong cột đầu tiên, có hai lần đổi dấu (0.75 → −3, và −3 → 3), do đó có hai nghiệm không-âm trong đó hệ thống sẽ không ổn định.

Đôi khi sự hiện diện của các cực trên trục ảo tạo ra một trạng thái ổn định biên. Trong trường hợp này các hệ số của "Mảng Routh" trong toàn bộ một hàng trở thành zero và do đó đáp án xa hơn cho đa thức  này là tìm các lần đổi dấu là không thể. Thì cách tiếp cận khác sẽ được xem xét.  Hàng nằm trên hàng chứa các zero của đa thức này được gọi là "Đa thức Phụ".

• s 6 + 2 s 5 + 8 s 4 + 12 s 3 + 20 s 2 + 16 s + 16 = 0. {\displaystyle s^{6}+2s^{5}+8s^{4}+12s^{3}+20s^{2}+16s+16=0.\,}

Chúng ta có bảng sau:

1	8	20	16
2	12	16	0
2	12	16	0
0	0	0	0

Trong trường hợp đa thức Phụ này là A ( s ) = 2 s 4 + 12 s 2 + 16. {\displaystyle A(s)=2s^{4}+12s^{2}+16.\,} một lần nữa lại bằng zero. Bước tiếp theo là đạo hàm phương trình ở trên để đạt được đa thức tiếp theo. B ( s ) = 8 s 3 + 24 s 1 . {\displaystyle B(s)=8s^{3}+24s^{1}.\,} . Các hệ số của hàng chứa zero bây giờ trở thành "8" và "24". Chu trình mảng Routh được tiến hành sử dụng các giá trị này để đạt được hai điểm trên trục ảo. Hai điểm nằm trên trục ảo này là nguyên nhân chính gây ra độ ổn định biên.[4]